Найдите производную функции f(x)=8sin^2 x cosx

Для нахождения производной функции $f\left(x\right)=8{\sin }^{2}x\cos x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. 1. Определение компонентов Пусть:

• $u=8{\sin }^{2}x$ $v=\cos x$

2. Дифференцирование компонентов Для нахождения $u^{\prime }$ используем правило производной сложной функции $\left(g\right(h\left(x\right)){)}^{\prime }=g^{\prime }(h\left(x\right))\cdot h^{\prime }(x)$:

• $u^{\prime }=(8{\sin }^{2}x{)}^{\prime }=8\cdot 2\sin x\cdot (\sin x{)}^{\prime }=16\sin x\cos x$ $v^{\prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

3. Применение формулы произведения Подставим полученные значения в формулу $f^{\prime }\left(x\right)=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$: $f^{\prime }\left(x\right)=\left(16\sin x\cos x\right)\cdot \cos x+\left(8{\sin }^{2}x\right)\cdot (-\sin x)$4. Упрощение выражения Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $f^{\prime }\left(x\right)=16\sin x{\cos }^{2}x-8{\sin }^{3}x$Для более компактного вида можно вынести общий множитель $8\sin x$: $f^{\prime }\left(x\right)=8\sin x(2{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)$5. Альтернативная форма записи Используя основное тригонометрическое тождество ( ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$), выражение можно выразить только через косинус: $f^{\prime }\left(x\right)=8\sin x(2{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x\left)\right)$ $f^{\prime }\left(x\right)=8\sin x(3{\cos }^{2}x-1)$Ответ: $f^{\prime }\left(x\right)=16\sin x{\cos }^{2}x-8{\sin }^{3}x\text{или}8\sin x(3{\cos }^{2}x-1)$Хотите, чтобы я нашел точки экстремума этой функции на определенном интервале?