10 вычислить log2(4x-3) + log1/8(125) = log0.5(x) + log4(0.04)

Для решения уравнения ${\log }_2(4x-3)+{\log }_{1/8}\left(125\right)={\log }_{0.5}\left(x\right)+{\log }_4\left(0.04\right)$ необходимо привести все логарифмы к одному основанию и учесть область допустимых значений, в результате чего получаем единственный корень $x=1$. Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1. $4x-3>0x>0.75$ $x>0$
   Таким образом, допустимые значения переменной: $x\in (0.75;+\infty )$.

Шаг 2: Приведение логарифмов к основанию $2$ Преобразуем каждое слагаемое, используя формулу перехода к новому основанию ${\log }_{a^n}\left(b^m\right)=\frac{m}{n}{\log }_a\left(b\right)$ :

1. ${\log }_{1/8}\left(125\right)={\log }_{2^{-3}}\left(5^3\right)=\frac{3}{-3}{\log }_2\left(5\right)=-{\log }_2\left(5\right)$ ${\log }_{0.5}\left(x\right)={\log }_{2^{-1}}\left(x\right)=-{\log }_2\left(x\right)$ ${\log }_4\left(0.04\right)={\log }_{2^2}\left({0.2}^2\right)=\frac{2}{2}{\log }_2\left(0.2\right)={\log }_2\left(\frac{1}{5}\right)=-{\log }_2\left(5\right)$

Шаг 3: Упрощение и решение уравнения Подставим преобразованные значения в исходное уравнение: ${\log }_2(4x-3)-{\log }_2\left(5\right)=-{\log }_2\left(x\right)-{\log }_2\left(5\right)$Сократим $-{\log }_2\left(5\right)$ с обеих сторон: ${\log }_2(4x-3)=-{\log }_2\left(x\right)$Используем свойство $-{\log }_a\left(b\right)={\log }_a\left(b^{-1}\right)$: ${\log }_2(4x-3)={\log }_2\left(\frac{1}{x}\right)$ Переходим к рациональному уравнению: $4x-3=\frac{1}{x}$ $4x^2-3x-1=0$Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D=(-3{)}^2-4\cdot 4\cdot (-1)=9+16=25$ $x_1=\frac{3+5}{8}=1$ $x_2=\frac{3-5}{8}=-0.25$ Шаг 4: Проверка корней по ОДЗ Сравним полученные значения с условием $x>0.75$:

1. $x_1=1$ — подходит ( $1>0.75$). $x_2=-0.25$ — не подходит ( $-0.25<0.75$).

Ответ: $x=1$ Нужно ли тебе проверить решение другого логарифмического уравнения или разобрать свойства логарифмов подробнее?