1. 2 в степени х+2 плюс 2 в степени х =5 2. 9 в степени х минус 6 умножить на 3 в степени х =1 3. 0,8 в степени 2х-3 =1 4. 3 в степени х+2 плюс 3 в степени х =30 5. 4 в степени х минус 14 умножить на 2 в степени х -минус 32 =0 6. 4 в степени х минус 3 умножить на 2 в степени х =40

Question

1. 2 в степени х+2 плюс 2 в степени х =5 2. 9 в степени х минус 6 умножить на 3 в степени х =1 3. 0,8 в степени 2х-3 =1 4. 3 в степени х+2 плюс 3 в степени х =30 5. 4 в степени х минус 14 умножить на 2 в степени х -минус 32 =0 6. 4 в степени х минус 3 умножить на 2 в степени х =40

xX_Spring_Xx 03.03.2026 08:23

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

️ Шаг 1: Решение уравнения 1 Уравнение: $2^{x + 2} + 2^{x} = 5 2 raised to the x plus 2 power plus 2 to the x-th power equals 5$ .

Применим свойство степени $a^{n + m} = a^{n} \cdot a^{m} a raised to the n plus m power equals a to the n-th power center dot a to the m-th power$ : $2^{x} \cdot 2^{2} + 2^{x} = 5 2 to the x-th power center dot 2 squared plus 2 to the x-th power equals 5$ . Вынесем $2^{x} 2 to the x-th power$ за скобки: $2^{x} (4 + 1) = 5 2 to the x-th power open paren 4 plus 1 close paren equals 5$ . Упростим: $2^{x} \cdot 5 = 5 2 to the x-th power center dot 5 equals 5$ , следовательно $2^{x} = 1 2 to the x-th power equals 1$ . Так как $1 = 2^{0} 1 equals 2 to the 0 power$ , получаем $x = 0 x equals 0$ .

️ Шаг 2: Решение уравнения 2 Уравнение: $9^{x} - 6 \cdot 3^{x} = 1 9 to the x-th power minus 6 center dot 3 to the x-th power equals 1$ .

Заметим, что $9^{x} = (3^{2})^{x} = (3^{x})^{2} 9 to the x-th power equals open paren 3 squared close paren to the x-th power equals open paren 3 to the x-th power close paren squared$ . Пусть $3^{x} = t 3 to the x-th power equals t$ , где $t > 0 t is greater than 0$ . Получаем квадратное уравнение: $t^{2} - 6 t - 1 = 0 t squared minus 6 t minus 1 equals 0$ . Решим через дискриминант: $D = (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40 cap D equals open paren negative 6 close paren squared minus 4 center dot 1 center dot open paren negative 1 close paren equals 36 plus 4 equals 40$ . Корни: $t = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = 3 \pm \sqrt{10} t equals the fraction with numerator 6 plus or minus the square root of 40 end-root and denominator 2 end-fraction equals 3 plus or minus the square root of 10 end-root$ . Так как $t > 0 t is greater than 0$ , подходит только $t = 3 + \sqrt{10} t equals 3 plus the square root of 10 end-root$ . Возвращаемся к замене: $3^{x} = 3 + \sqrt{10} 3 to the x-th power equals 3 plus the square root of 10 end-root$ , откуда $x = \log_{3} (3 + \sqrt{10}) x equals log base 3 of open paren 3 plus the square root of 10 end-root close paren$ .

️ Шаг 3: Решение уравнения 3 Уравнение: $0, 8^{2 x - 3} = 1 0 comma 8 raised to the 2 x minus 3 power equals 1$ .

Любое число в нулевой степени (кроме нуля) равно 1, поэтому $1 = 0, 8^{0} 1 equals 0 comma 8 to the 0 power$ . Приравняем показатели: $2 x - 3 = 0 2 x minus 3 equals 0$ . Решим уравнение: $2 x = 3 2 x equals 3$ , следовательно $x = 1, 5 x equals 1 comma 5$ .

️ Шаг 4: Решение уравнения 4 Уравнение: $3^{x + 2} + 3^{x} = 30 3 raised to the x plus 2 power plus 3 to the x-th power equals 30$ .

Разложим первую степень: $3^{x} \cdot 3^{2} + 3^{x} = 30 3 to the x-th power center dot 3 squared plus 3 to the x-th power equals 30$ . Вынесем $3^{x} 3 to the x-th power$ : $3^{x} (9 + 1) = 30 3 to the x-th power open paren 9 plus 1 close paren equals 30$ . Упростим: $3^{x} \cdot 10 = 30 3 to the x-th power center dot 10 equals 30$ , значит $3^{x} = 3 3 to the x-th power equals 3$ . Отсюда $x = 1 x equals 1$ .

️ Шаг 5: Решение уравнения 5 Уравнение: $4^{x} - 14 \cdot 2^{x} - 32 = 0 4 to the x-th power minus 14 center dot 2 to the x-th power minus 32 equals 0$ .

Пусть $2^{x} = t 2 to the x-th power equals t$ , тогда $4^{x} = t^{2} 4 to the x-th power equals t squared$ ( $t > 0 t is greater than 0$ ). Уравнение: $t^{2} - 14 t - 32 = 0 t squared minus 14 t minus 32 equals 0$ . По теореме Виета или через дискриминант: $t_{1} = 16 t sub 1 equals 16$ , $t_{2} = -2 t sub 2 equals negative 2$ . Условию $t > 0 t is greater than 0$ удовлетворяет только $t = 16 t equals 16$ . $2^{x} = 16 2 to the x-th power equals 16$ , так как $16 = 2^{4} 16 equals 2 to the fourth power$ , то $x = 4 x equals 4$ .

️ Шаг 6: Решение уравнения 6 Уравнение: $4^{x} - 3 \cdot 2^{x} = 40 4 to the x-th power minus 3 center dot 2 to the x-th power equals 40$ .

Пусть $2^{x} = t 2 to the x-th power equals t$ ( $t > 0 t is greater than 0$ ), тогда $t^{2} - 3 t - 40 = 0 t squared minus 3 t minus 40 equals 0$ . Корни уравнения: $t_{1} = 8 t sub 1 equals 8$ , $t_{2} = -5 t sub 2 equals negative 5$ . Подходит только $t = 8 t equals 8$ . $2^{x} = 8 2 to the x-th power equals 8$ , так как $8 = 2^{3} 8 equals 2 cubed$ , то $x = 3 x equals 3$ .

Ответ:

x = 0
x = \log_3(3 + \sqrt{10})
x = 1,5
x = 1
x = 4
x = 3

Нужна ли вам помощь с решением других типов показательных уравнений или систем уравнений?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов