Докажите что функция f(x)=e^3x+cosx+x является первообразной функции f(x)=3e^3x-sinx+1

Чтобы доказать, что функция $F\left(x\right)$ является первообразной для функции $f\left(x\right)$, необходимо проверить выполнение основного условия: производная предполагаемой первообразной должна быть равна исходной функции на всей области определения. $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$1. Определение функций Исходя из вашего условия, имеем:

• Предполагаемая первообразная: $F\left(x\right)=e^{3x}+\cos \left(x\right)+x$ Исходная функция: $f\left(x\right)=3e^{3x}-\sin \left(x\right)+1$

2. Дифференцирование функции $F\left(x\right)$ Найдем производную функции $F\left(x\right)$, используя правила дифференцирования суммы и сложной функции:

1. Производная $e^{3x}$: Согласно правилу производной сложной функции $(e^u{)}^{\prime }=e^u\cdot u^{\prime }$, получаем:
   $(e^{3x}{)}^{\prime }=e^{3x}\cdot (3x{)}^{\prime }=3e^{3x}$ Производная $\cos \left(x\right)$: По таблице производных:
   $\left(\cos \right(x){)}^{\prime }=-\sin (x)$ Производная $x$:
   $(x{)}^{\prime }=1$

3. Составление итогового выражения Сложим полученные результаты: $F^{\prime }\left(x\right)=(e^{3x}+\cos (x)+x{)}^{\prime }=3e^{3x}+(-\sin \left(x\right))+1$ $F^{\prime }\left(x\right)=3e^{3x}-\sin \left(x\right)+1$4. Вывод Сравним полученный результат с функцией $f\left(x\right)$:

• $F^{\prime }\left(x\right)=3e^{3x}-\sin \left(x\right)+1$ $f\left(x\right)=3e^{3x}-\sin \left(x\right)+1$

Так как $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$, то по определению функция $F\left(x\right)=e^{3x}+\cos \left(x\right)+x$ действительно является первообразной для функции $f\left(x\right)=3e^{3x}-\sin \left(x\right)+1$. Доказано. Хотите, я помогу вам найти общее решение неопределенного интеграла для этой функции или проверю другую задачу на первообразные?