Найдите значение функции у=x^3-3x+1 в точке минимума

Для нахождения значения функции в точке минимума необходимо выполнить алгоритм исследования функции с помощью производной. 1. Нахождение производной функции Сначала найдем производную функции $y=x^3-3x+1$ по правилу дифференцирования степенной функции: $y^{\prime }=(x^3{)}^{\prime }-(3x{)}^{\prime }+(1{)}^{\prime }=3x^2-3$2. Нахождение критических точек Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю: $3x^2-3=0$ $3(x^2-1)=0$ $x^2=1$ $x_1=1,x_2=-1$3. Определение точки минимума Для определения характера критических точек исследуем знак производной на интервалах или воспользуемся второй производной. Найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }=(3x^2-3{)}^{\prime }=6x$Подставим критические точки во вторую производную:

• При $x=-1$: $y^{\prime \prime }\left(-1\right)=6\cdot \left(-1\right)=-6$. Так как $y^{\prime \prime }<0$, то $x=-1$ — точка максимума. При $x=1$: $y^{\prime \prime }\left(1\right)=6\cdot 1=6$. Так как $y^{\prime \prime }>0$, то $x=1$ — точка минимума.

Таким образом, точкой минимума является $x=1$. 4. Вычисление значения функции Теперь найдем значение функции $y\left(x\right)$ в точке минимума $x=1$, подставив это значение в исходное уравнение: $y\left(1\right)=1^3-3\cdot 1+1$ $y\left(1\right)=1-3+1$ $y\left(1\right)=-1$Ответ: Значение функции в точке минимума равно -1. Могу ли я помочь вам с исследованием этой функции на выпуклость или нахождением точек перегиба?