Докажите, что периодом функции y=f(x) является число:a)f(x)=sin x/4,t=8п b)f (x)=3cos2x,t=п c)f(x)=tg3x,t=п/3 d)f(x)=ctg x/4,t=4п.

Для доказательства того, что число $T$ является периодом функции $f\left(x\right)$, необходимо подтвердить выполнение тождества $f(x+T)=f\left(x\right)$ для любого $x$ из области определения функции. а) $f\left(x\right)=\sin \frac{x}{4},T=8\pi$

1. Выполнить подстановку аргумента
   Вместо переменной $x$ подставим выражение $(x+8\pi )$ в формулу функции:
   $f(x+8\pi )=\sin \frac{x+8\pi }{4}$ Преобразовать выражение в скобках
   Разделим каждое слагаемое в числителе на знаменатель:
   $\sin (\frac{x}{4}+\frac{8\pi }{4})=\sin (\frac{x}{4}+2\pi )$ Использовать свойства синуса
   Так как основным периодом функции $\sin \alpha$ является $2\pi$, то $\sin (\alpha +2\pi )=\sin \alpha$. Применив это свойство, получим:
   $\sin (\frac{x}{4}+2\pi )=\sin \frac{x}{4}$ Следовательно, $f(x+8\pi )=f\left(x\right)$, что и требовалось доказать.

б) $f\left(x\right)=3\cos 2x,T=\pi$

1. Выполнить подстановку аргумента
   Подставим $(x+\pi )$ в аргумент косинуса:
   $f(x+\pi )=3\cos \left(2\right(x+\pi \left)\right)$ Раскрыть скобки в аргументе
   Умножим коэффициент $2$ на каждое слагаемое:
   $3\cos (2x+2\pi )$ Использовать свойства косинуса
   Основной период функции $\cos \alpha$ равен $2\pi$, значит $\cos (\alpha +2\pi )=\cos \alpha$. Тогда:
   $3\cos (2x+2\pi )=3\cos 2x$Условие $f(x+\pi )=f\left(x\right)$ выполняется.

в) $f\left(x\right)=\tan 3x,T=\frac{\pi }{3}$

1. Выполнить подстановку аргумента
   Заменим $x$ на $(x+\frac{\pi }{3})$ :
   $f(x+\frac{\pi }{3})=\tan \left(3(x+\frac{\pi }{3})\right)$ Раскрыть скобки в аргументе
   Распределим множитель $3$:
   $\tan (3x+3\cdot \frac{\pi }{3})=\tan (3x+\pi )$ Использовать свойства тангенса
   Период функции $\tan \alpha$ равен $\pi$, следовательно $\tan (\alpha +\pi )=\tan \alpha$. Получаем:
   $\tan (3x+\pi )=\tan 3x$Тождество $f(x+\frac{\pi }{3})=f\left(x\right)$ доказано.

г) $f\left(x\right)=\cot \frac{x}{4},T=4\pi$

1. Выполнить подстановку аргумента
   Подставим $(x+4\pi )$ в функцию:
   $f(x+4\pi )=\cot \frac{x+4\pi }{4}$ Упростить дробь в аргументе
   Почленно разделим числитель на $4$:
   $\cot (\frac{x}{4}+\frac{4\pi }{4})=\cot (\frac{x}{4}+\pi )$ Использовать свойства котангенса
   Период функции $\cot \alpha$ равен $\pi$, поэтому $\cot (\alpha +\pi )=\cot \alpha$. Имеем:
   $\cot (\frac{x}{4}+\pi )=\cot \frac{x}{4}$ Равенство $f(x+4\pi )=f\left(x\right)$ верно.

Ответ Для всех представленных функций выполнено условие периодичности $f(x+T)=f\left(x\right)$, что доказывает соответствие указанных чисел $T$ периодам данных функций. Сообщите, требуется ли вам графическая визуализация данных функций для наглядного подтверждения их цикличности на указанных интервалах?