Докажите признак параллельности прямой и плоскости

Теорема (Признак параллельности прямой и плоскости) Формулировка: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Доказательство Дано:

• Плоскость $\alpha$. Прямая $a$, не лежащая в плоскости $\alpha$ ( $a\stackrel{̸}{\subset }\alpha$). Прямая $b$, лежащая в плоскости $\alpha$ ( $b\subset \alpha$). Прямые $a$ и $b$ параллельны ( $a\parallel b$).

Доказать:

• Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ( $a\parallel \alpha$).

Ход доказательства Для доказательства воспользуемся методом от противного.

1. Предположение:
   Допустим, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\alpha$. Поскольку прямая не лежит в плоскости, это означает, что она должна пересекать плоскость $\alpha$ в некоторой точке $M$. Анализ взаимного расположения:
   Прямые $a$ и $b$ по условию параллельны. Согласно аксиомам стереометрии, через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Назовем эту плоскость $\beta$. Поиск точки пересечения:
   Так как точка $M$ принадлежит прямой $a$, а прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$, то точка $M$ также принадлежит плоскости $\beta$.
   По нашему предположению точка $M$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, точка $M$ лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Линия пересечения плоскостей:
   По условию прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$. Также она лежит в плоскости $\beta$ (по построению плоскости $\beta$). Значит, прямая $b$ и есть линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Возникновение противоречия:
   Из пунктов 3 и 4 следует, что точка $M$ должна лежать на прямой $b$.
   Таким образом, получается, что прямые $a$ и $b$ имеют общую точку $M$. Однако по условию $a\parallel b$, а параллельные прямые по определению не имеют общих точек. Вывод:
   Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение о том, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$, было неверным. Значит, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$.

Теорема доказана. Я могу составить для вас аналогичное доказательство для признака параллельности двух плоскостей или разобрать решение типовой задачи на эту тему. Хотите, чтобы я подготовил практический пример?