Исследовать функцию и построить график f(x)=x^4-4x^2 (^ степень)

Для исследования функции $f\left(x\right)=x^4-4x^2$ воспользуемся стандартным алгоритмом анализа. 1. Область определения и свойства функции

• Область определения ( $D\left(f\right)$): Функция является многочленом, поэтому она определена для всех $x\in \mathbb{R}$. Четность: Проверим условие $f(-x)=f\left(x\right)$:
  $f(-x)=(-x{)}^4-4(-x{)}^2=x^4-4x^2=f\left(x\right)$Функция четная, её график симметричен относительно оси $Oy$.

2. Точки пересечения с осями

• С осью $Oy$: Подставим $x=0f\left(0\right)=0$. Точка $(0,0)$. С осью $Ox$ (корни): Решим уравнение $x^4-4x^2=0$:
  $x^2(x^2-4)=0x^2(x-2)(x+2)=0$Корни: $x_1=0$, $x_2=2$, $x_3=-2$.
  Точки пересечения: $(-2,0),(0,0),(2,0)$.

3. Исследование с помощью первой производной Найдем производную функции для определения промежутков монотонности и экстремумов: $f^{\prime }\left(x\right)=(x^4-4x^2{)}^{\prime }=4x^3-8x$Приравняем к нулю: $4x(x^2-2)=0$Критические точки: $x=0$, $x=\sqrt{2}\approx 1.41$ , $x=-\sqrt{2}\approx -1.41$ . Интервалы знака $f^{\prime }\left(x\right)$:

• $(-\infty ;-\sqrt{2})$ : $f^{\prime }\left(x\right)<0$ (функция убывает) $(-\sqrt{2};0)$ : $f^{\prime }\left(x\right)>0$ (функция возрастает) $(0;\sqrt{2})$ : $f^{\prime }\left(x\right)<0$ (функция убывает) $(\sqrt{2};+\infty )$ : $f^{\prime }\left(x\right)>0$ (функция возрастает)

Значения в точках экстремума:

• $x_{min}=\pm \sqrt{2}f(\pm \sqrt{2})=(\sqrt{2}{)}^4-4(\sqrt{2}{)}^2=4-8=-4$ . $x_{max}=0f\left(0\right)=0$.

4. Исследование с помощью второй производной Найдем вторую производную для определения выпуклости и точек перегиба: $f^{\prime \prime }\left(x\right)=(4x^3-8x{)}^{\prime }=12x^2-8$Приравняем к нулю: $12x^2=8x^2=\frac{2}{3}x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\approx \pm 0.82$ Интервалы знака $f^{\prime \prime }\left(x\right)$:

• $(-\infty ;-\sqrt{2/3})\cup (\sqrt{2/3};+\infty )$ : $f^{\prime \prime }\left(x\right)>0$ (график выпуклый вниз) $(-\sqrt{2/3};\sqrt{2/3})$ : $f^{\prime \prime }\left(x\right)<0$ (график выпуклый вверх)

Точки перегиба: $(\pm \sqrt{2/3};-2.22)$ . 5. Сводная таблица ключевых точек

6. Эскиз графика График представляет собой "W-образную" кривую:

1. Выходит из $+\infty$ во второй четверти. Проходит через $(-2,0)$, опускается до минимума $(-\sqrt{2},-4)$ . Поднимается, проходит точку перегиба и достигает локального максимума в $(0,0)$. Симметрично отражается в правой полуплоскости: опускается до $(\sqrt{2},-4)$ и уходит в $+\infty$ через точку $(2,0)$.

Я могу составить таблицу значений функции для более точного построения графика по точкам. Хотите, чтобы я это сделал?