Исследуйте функцию f и постройте её график f(x)=x4+x2 (4 и 2 это степень)

Для исследования функции $f\left(x\right)=x^4+x^2$ и построения её графика выполним полный математический анализ. ️ Шаг 1: Общая характеристика функции Областью определения функции является всё множество действительных чисел: $D\left(f\right)=(-\infty ,+\infty )$. Проверим функцию на чётность: $f(-x)=(-x{)}^4+(-x{)}^2=x^4+x^2=f\left(x\right)$. Следовательно, функция является чётной, а её график симметричен относительно оси $Oy$. ️ Шаг 2: Точки пересечения с осями и пределы Найдём точки пересечения с осями координат:

1. С осью $Oy$: $f\left(0\right)=0^4+0^2=0$. С осью $Ox$: $x^4+x^2=0x^2(x^2+1)=0$. Единственный корень $x=0$.
   График проходит через начало координат $(0,0)$. Исследуем поведение на бесконечности:
   $\underset{x\pm \infty }{\lim }(x^4+x^2)=+\infty$

️ Шаг 3: Исследование с помощью первой производной Найдём производную функции для определения промежутков монотонности и экстремумов: $f^{\prime }\left(x\right)=4x^3+2x=2x(2x^2+1)$ Приравняем к нулю: $2x(2x^2+1)=0$. Так как $2x^2+1>0$ для любого $x$, единственная критическая точка — $x=0$. Определим знаки производной:

1. При $x\in (-\infty ,0)$: $f^{\prime }\left(x\right)<0$ (функция убывает). При $x\in (0,+\infty )$: $f^{\prime }\left(x\right)>0$ (функция возрастает).
   В точке $x=0$ достигается минимум функции: $f_{min}=f\left(0\right)=0$.

️ Шаг 4: Исследование с помощью второй производной Найдём вторую производную для определения выпуклости и точек перегиба: $f^{\prime \prime }\left(x\right)=12x^2+2$Заметим, что $f^{\prime \prime }\left(x\right)>0$ для всех $x\in \mathbb{R}$. Это означает, что график функции всегда направлен выпуклостью вниз (вогнут), и точек перегиба нет. Ответ: Функция $f\left(x\right)=x^4+x^2$ определена на $\mathbb{R}$, является чётной и всегда выпуклой вниз. Она убывает на интервале $(-\infty ,0)$ и возрастает на интервале $(0,+\infty )$, имея глобальный минимум в точке (0, 0). График представляет собой параболообразную кривую, симметричную относительно оси ординат, проходящую через точки $(-1,2)$, $(0,0)$ и $(1,2)$. Нужно ли вам подготовить таблицу значений для более точного построения точек графика на бумаге?