Как найти производную x в 3 степени x

Для нахождения производной функции вида $y=x^{x^3}$ используется метод логарифмического дифференцирования, так как переменная $x$ находится и в основании, и в показателе степени. 1. Подготовка уравнения Сначала прологарифмируем обе части уравнения по основанию $e$ (натуральный логарифм): $\ln \left(y\right)=\ln \left(x^{x^3}\right)$Используя свойство логарифма $\ln \left(a^b\right)=b\cdot \ln \left(a\right)$, выносим степень перед логарифмом: $\ln \left(y\right)=x^3\cdot \ln \left(x\right)$2. Дифференцирование Теперь берем производную от обеих частей уравнения по переменной $x$.

• Левая часть: Используем правило дифференцирования сложной функции для $\ln \left(y\right)$:
  $\left(\ln \right(y){)}^{\prime }=\frac{1}{y}\cdot y^{\prime }$ Правая часть: Используем правило произведения $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, где $u=x^3$ и $v=\ln \left(x\right)$:
  $(x^3\cdot \ln (x){)}^{\prime }=(x^3{)}^{\prime }\cdot \ln \left(x\right)+x^3\cdot \left(\ln \right(x){)}^{\prime }$ $(x^3\cdot \ln (x){)}^{\prime }=3x^2\cdot \ln (x)+x^3\cdot \frac{1}{x}$ $(x^3\cdot \ln (x){)}^{\prime }=3x^2\ln (x)+x^2$

3. Объединение и поиск $y^{\prime }$ Приравниваем результаты: $\frac{1}{y}\cdot y^{\prime }=3x^2\ln \left(x\right)+x^2$ Чтобы найти $y^{\prime }$, умножаем обе части на $y$: $y^{\prime }=y\cdot \left(3x^2\ln \right(x)+x^2)$4. Окончательный ответ Заменяем $y$ обратно на исходное выражение $x^{x^3}$: $y^{\prime }=x^{x^3}\cdot \left(3x^2\ln \right(x)+x^2)$Для упрощения можно вынести $x^2$ за скобки: $y^{\prime }=x^{x^3}\cdot x^2\cdot \left(3\ln \right(x)+1)$Используя свойства степеней $a^b\cdot a^c=a^{b+c}$, выражение можно записать как: $y^{\prime }=x^{x^3+2}\cdot \left(3\ln \right(x)+1)$Я могу также рассчитать значение этой производной в конкретной точке или помочь с исследованием функции на экстремумы.