Sin (п/6 +x) + sin (п/6 -x)

Для упрощения выражения $\sin (\frac{\pi }{6}+x)+\sin (\frac{\pi }{6}-x)$ воспользуемся тригонометрической формулой суммы синусов: $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$ Пошаговое решение 1. Определение аргументов В данном выражении:

• $\alpha =\frac{\pi }{6}+x$ $\beta =\frac{\pi }{6}-x$

2. Нахождение полусуммы аргументов $\frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{(\frac{\pi }{6}+x)+(\frac{\pi }{6}-x)}{2}=\frac{\frac{2\pi }{6}}{2}=\frac{\pi }{6}$ 3. Нахождение полуразности аргументов $\frac{\alpha -\beta }{2}=\frac{(\frac{\pi }{6}+x)-(\frac{\pi }{6}-x)}{2}=\frac{x+x}{2}=\frac{2x}{2}=x$ 4. Подстановка в формулу $\sin (\frac{\pi }{6}+x)+\sin (\frac{\pi }{6}-x)=2\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)\cos \left(x\right)$ 5. Вычисление значения синуса Из таблицы тригонометрических значений известно, что $\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ . Подставим это значение: $2\cdot \frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)=1\cdot \cos \left(x\right)=\cos \left(x\right)$ Альтернативный способ (через формулы сложения) Можно также раскрыть каждое слагаемое по отдельности:

• $\sin (\frac{\pi }{6}+x)=\sin \frac{\pi }{6}\cos x+\cos \frac{\pi }{6}\sin x$ $\sin (\frac{\pi }{6}-x)=\sin \frac{\pi }{6}\cos x-\cos \frac{\pi }{6}\sin x$

При сложении этих выражений слагаемые с $\sin x$ взаимно уничтожаются: $(\sin \frac{\pi }{6}\cos x+\cos \frac{\pi }{6}\sin x)+(\sin \frac{\pi }{6}\cos x-\cos \frac{\pi }{6}\sin x)=2\sin \frac{\pi }{6}\cos x=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \cos x=\cos x$ Ответ: $\cos x$ Могу помочь с решением других тригонометрических уравнений или упрощением выражений, если это необходимо.