Как соотносятся площади сфер, вписанной в куб и описанной около этого же куба?

Чтобы найти отношение площадей поверхностей вписанной и описанной сфер, необходимо выразить их радиусы через ребро куба. Пусть ребро куба равно $a$. 1. Сфера, вписанная в куб Вписанная сфера касается всех граней куба. Ее диаметр равен ребру куба, следовательно, радиус вписанной сферы ( $r$): $r=\frac{a}{2}$ Площадь поверхности вписанной сферы ( $S_1$) вычисляется по формуле $4\pi r^2$: $S_1=4\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2=4\pi \frac{a^2}{4}=\pi a^2$ 2. Сфера, описанная около куба Описанная сфера проходит через все вершины куба. Ее диаметр равен главной диагонали куба. Согласно теореме Пифагора для трехмерного пространства, диагональ куба ( $d$) равна $a\sqrt{3}$ . Радиус описанной сферы ( $R$): $R=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ Площадь поверхности описанной сферы ( $S_2$): $S_2=4\pi {\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=4\pi \frac{3a^2}{4}=3\pi a^2$ 3. Соотношение площадей Теперь найдем отношение площади вписанной сферы к площади описанной: $\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi a^2}{3\pi a^2}=\frac{1}{3}$ Вывод: Площадь сферы, описанной около куба, в 3 раза больше площади сферы, вписанной в этот же куб. Их площади соотносятся как 1 : 3. Я могу составить для вас аналогичный расчет для объемов этих сфер, если это будет полезно.