Log_0,1 1000

Для вычисления значения выражения ${\log }_{0,1}1000$ воспользуемся определением логарифма и свойствами степеней.

1. Определение логарифма: По определению, ${\log }_{a}b=x$ означает, что основание $a$, возведенное в степень $x$, дает число $b$. В данном случае уравнение выглядит так:
   $0,1^x=1000$. Приведение к общему основанию: Представим обе части уравнения как степени числа 10:
   • Число $0,1$ — это ${10}^{-1}$. Число $1000$ — это ${10}^3$.
   Подстановка и решение:
   Подставим эти значения в исходное уравнение:
   $({10}^{-1}{)}^x={10}^3$При возведении степени в степень показатели перемножаются:
   ${10}^{-x}={10}^3$Так как основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:
   $-x=3$
   $x=-3$ Альтернативный способ (формула перехода к новому основанию):
   Используя формулу перехода к десятичному логарифму ( $\lg$):
   ${\log }_{0,1}1000=\frac{\lg 1000}{\lg 0,1}$
   • $\lg 1000=3$ (так как ${10}^3=1000$). $\lg 0,1=-1$ (так как ${10}^{-1}=0,1$).
   Результат: $\frac{3}{-1}=-3$ .

Ответ: -3. Если потребуется разобрать другие примеры с логарифмами или изучить свойства степеней, я готов предоставить подробные выкладки.