Найти угол между прямыми 5x-7y+1=0 2x+3y-7=0

Для нахождения угла между двумя прямыми, заданными общими уравнениями $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ и $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$, можно воспользоваться формулой тангенса угла $\varphi$ между ними. 1. Исходные данные Даны уравнения прямых:

1. $5x-7y+1=0$ (где $A_1=5,B_1=-7$) $2x+3y-7=0$ (где $A_2=2,B_2=3$)

2. Формула для вычисления Острый угол $\varphi$ между прямыми находится по формуле через их угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$: $\tan \varphi =\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1{k}_2}\right|$ Сначала выразим угловые коэффициенты $k$ для каждой прямой ( $y=kx+b$):

• Для первой прямой: $-7y=-5x-1y=\frac{5}{7}x+\frac{1}{7}$ . Значит, $k_1=\frac{5}{7}$ . Для второй прямой: $3y=-2x+7y=-\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}$ . Значит, $k_2=-\frac{2}{3}$ .

3. Подстановка значений Подставим полученные коэффициенты в формулу: $\tan \varphi =\left|\frac{-\frac{2}{3}-\frac{5}{7}}{1+(\frac{5}{7}\cdot (-\frac{2}{3}))}\right|$ Выполним вычисления в числителе и знаменателе отдельно:

• Числитель: $-\frac{2}{3}-\frac{5}{7}=\frac{-14-15}{21}=-\frac{29}{21}$ Знаменатель: $1-\frac{10}{21}=\frac{21-10}{21}=\frac{11}{21}$

Теперь найдем значение тангенса: $\tan \varphi =\left|\frac{-\frac{29}{21}}{\frac{11}{21}}\right|=|-\frac{29}{11}|=\frac{29}{11}$ 4. Итоговый результат Сам угол $\varphi$ выражается через арктангенс: $\varphi =\arctan \left(\frac{29}{11}\right)$ Если необходимо перевести это значение в градусы: $\varphi \approx 69,{23}^{\circ }$ Ответ: $\varphi =\arctan \frac{29}{11}$ . Я могу также проверить эти прямые на перпендикулярность или найти точку их пересечения, если это потребуется.