Log1/2(7x^2-200)=log1/2 50x

Для решения уравнения ${\log }_{1/2}(7x^2-200)={\log }_{1/2}\left(50x\right)$ воспользуемся методом приравнивания подлогарифмических выражений. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. $7x^2-200>0⟹x^2>\frac{200}{7}\approx 28.57⟹\left|x\right|>\sqrt{\frac{200}{7}}$ $50x>0⟹x>0$

Объединяя условия, получаем: $x>\sqrt{\frac{200}{7}}$ (приблизительно $x>5.34$). 2. Решение уравнения Так как основания логарифмов равны ( $1/2$), приравниваем их аргументы: $7x^2-200=50x$Перенесем все члены в левую часть для получения квадратного уравнения: $7x^2-50x-200=0$Найдем дискриминант ( $D$): $D=(-50{)}^2-4\cdot 7\cdot (-200)=2500+5600=8100$ $\sqrt{D}=\sqrt{8100}=90$ Найдем корни уравнения: $x_1=\frac{50+90}{2\cdot 7}=\frac{140}{14}=10$ $x_2=\frac{50-90}{2\cdot 7}=\frac{-40}{14}=-\frac{20}{7}\approx -2.86$ 3. Проверка корней по ОДЗ

• $x_1=10$: Проверяем условие $x>5.34$. Корень $10>5.34$ — подходит. $x_2=-20/7$: Проверяем условие $x>0$. Корень отрицательный — не подходит (аргумент логарифма $50x$ становится отрицательным).

Ответ: 10