Найдите промежутки возрастания функции:у=2х^3-3x^2-12x

Функция $y=2x^3-3x^2-12x$ возрастает на промежутках $(-\infty ,-1]$ и $[2,+\infty )$. ️ Шаг 1: Нахождение производной функции Для определения промежутков монотонности необходимо найти производную функции $y=f\left(x\right)$. Используем правила дифференцирования степенной функции: $y^{\prime }=(2x^3-3x^2-12x{)}^{\prime }=6x^2-6x-12$️ Шаг 2: Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых функция может менять характер своего поведения (критические точки): $6x^2-6x-12=0$Разделим всё уравнение на $6$: $x^2-x-2=0$Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета: $D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9$ $x_1=\frac{1+3}{2}=2,x_2=\frac{1-3}{2}=-1$ ️ Шаг 3: Анализ знаков производной Разделим числовую прямую на интервалы точками $-1$ и $2$ и определим знак $y^{\prime }$ на каждом из них:

1. На промежутке $(-\infty ,-1)$: выберем $x=-2$, тогда $y^{\prime }\left(-2\right)=6(-2{)}^2-6(-2)-12=24+12-12=24>0$. Функция возрастает. На промежутке $(-1,2)$: выберем $x=0$, тогда $y^{\prime }\left(0\right)=-12<0$. Функция убывает. На промежутке $(2,+\infty )$: выберем $x=3$, тогда $y^{\prime }\left(3\right)=6(3{)}^2-6(3)-12=54-18-12=24>0$. Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает при $x\in (-\infty ,-1]\cup [2,+\infty )$. Нужно ли вам также найти точки экстремума или интервалы вогнутости для данной функции?