Log1/6(x^2-3x+2)>=-1

Для решения неравенства ${\log }_{1/6}(x^2-3x+2)\ge -1$ необходимо учитывать свойства логарифмической функции и область допустимых значений (ОДЗ). 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x^2-3x+2>0$Разложим квадратный трехчлен на множители. Корни уравнения $x^2-3x+2=0$ по теореме Виета: $x_1=1,x_2=2$. $(x-1)(x-2)>0$По методу интервалов получаем: ОДЗ: $x\in (-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$ 2. Решение основного неравенства Так как основание логарифма $1/6$ меньше единицы ( $0<1/6<1$), при переходе к подлогарифмическому выражению знак неравенства меняется на противоположный: $x^2-3x+2\le (1/6{)}^{-1}$Вычисляем правую часть: $(1/6{)}^{-1}=6$. $x^2-3x+2\le 6$Переносим всё в одну сторону: $x^2-3x-4\le 0$Найдем корни уравнения $x^2-3x-4=0$: По теореме Виета: $x_1=4,x_2=-1$. $(x-4)(x+1)\le 0$Решением этого неравенства является отрезок: $x\in [-1;4]$ 3. Пересечение с ОДЗ Теперь необходимо найти общие значения для полученного решения и ОДЗ:

1. Решение неравенства: $x\in [-1;4]$ ОДЗ: $x\in (-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$

Наложим эти интервалы друг на друга:

• От $-1$ до $1$ (не включая $1$) От $2$ (не включая $2$) до $4$

Итоговый ответ: $x\in [-1;1)\cup (2;4]$Я могу составить для вас аналогичное задание для закрепления материала или помочь с решением системы неравенств. Хотите продолжить?