11. найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2, прямой 𝑦 = 4и осью ординат (𝑥 = 0). 2.найдите объём тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями 𝑦 =√𝑥 − 1, 𝑥 = 10 и 𝑦 = 0, относительно оси абсцисс (𝑂𝑥). 3. скорость прямолинейного движения тела выражается формулой 𝑣 = 3𝑡 + 𝑡2. найти путь, пройденный телом за 8 секунд от начала движения. помогите пожалуйста

Ответы на задачи: площадь фигуры равна $2\frac{2}{3}$ , объём тела вращения составляет $40,5\pi$, а пройденный путь равен $266\frac{2}{3}$ . ️ Шаг 1: Нахождение площади фигуры Для нахождения площади фигуры, ограниченной $y=4x-x^2$, $y=4$ и $x=0$, сначала определим пределы интегрирования. Найдем точку пересечения графиков: $4x-x^2=4$ $x^2-4x+4=0$ $(x-2{)}^2=0x=2$Таким образом, интегрирование проводится на отрезке $[0,2]$. Верхняя граница — прямая $y=4$, нижняя — парабола $y=4x-x^2$. $S={\int }_0^2(4-(4x-x^2\left)\right)dx={\int }_0^2(x^2-4x+4)dx$ $S=[\frac{x^3}{3}-2x^2+4x{]}_0^2=(\frac{8}{3}-8+8)-0=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$ ️ Шаг 2: Вычисление объёма тела вращения Фигура ограничена линиями $y=\sqrt{x-1}$ , $x=10$ и $y=0$. Точка пересечения с осью $Ox$ ( $y=0$): $\sqrt{x-1}=0x=1$ . Пределы интегрирования: $[1,10]$. Формула объёма тела вращения вокруг оси $Ox$: $V=\pi {\int }_a^b\left[f\right(x){]}^{2}dx$ $V=\pi {\int }_1^{10}(\sqrt{x-1}{)}^{2}dx=\pi {\int }_1^{10}(x-1)dx$ $V=\pi [\frac{x^2}{2}-x{]}_1^{10}=\pi ((50-10)-(0,5-1))=\pi (40+0,5)=40,5\pi$ ️ Шаг 3: Нахождение пройденного пути Путь $s$, пройденный телом при прямолинейном движении, находится как интеграл от функции скорости $v\left(t\right)=3t+t^2$ по времени: $s={\int }_0^8(3t+t^2)dt$ $s=[\frac{3t^2}{2}+\frac{t^3}{3}{]}_0^8$ Подставим верхний предел: $s=\frac{3\cdot 64}{2}+\frac{512}{3}=96+170\frac{2}{3}=266\frac{2}{3}$ Ответ:

1. Площадь фигуры: $2\frac{2}{3}$ (квадратных единиц).
2. Объём тела: $40,5\pi$ (кубических единиц).
3. Путь: $266\frac{2}{3}$ (единиц длины).

Требуется ли вам помощь с построением графиков данных функций для визуализации областей интегрирования?