Log4(x+7)>log2(x+1)... 4 и 2 это основание логорифма

Для решения неравенства ${\log }_4(x+7)>{\log }_2(x+1)$ необходимо привести логарифмы к одному основанию и учесть область допустимых значений (ОДЗ). 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. $x+7>0⟹x>-7$ $x+1>0⟹x>-1$

Общее условие ОДЗ: $x>-1$. 2. Приведение к одному основанию Приведем левую часть к основанию $2$, используя формулу ${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$ : ${\log }_4(x+7)={\log }_{2^2}(x+7)=\frac{1}{2}{\log }_2(x+7)$ Теперь подставим это в исходное неравенство: $\frac{1}{2}{\log }_2(x+7)>{\log }_2(x+1)$ 3. Решение неравенства Умножим обе части на $2$: ${\log }_2(x+7)>2{\log }_2(x+1)$Внесем коэффициент $2$ в степень аргумента справа: ${\log }_2(x+7)>{\log }_2(x+1{)}^2$Так как основание логарифма $2>1$, функция возрастает. Мы можем перейти к сравнению аргументов, сохраняя знак неравенства: $x+7>(x+1{)}^2$Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону: $x+7>x^2+2x+1$ $-x^2-x+6>0$ $x^2+x-6<0$4. Поиск корней и интервалов Найдем корни квадратного уравнения $x^2+x-6=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $-1$ Произведение корней: $-6$ Корни: $x_1=-3,x_2=2$

Для неравенства $x^2+x-6<0$ решением является интервал между корнями: $-3<x<2$5. Сопоставление с ОДЗ Нам необходимо пересечь полученное решение с ОДЗ ( $x>-1$):

1. Решение: $x\in (-3;2)$ ОДЗ: $x\in (-1;+\infty )$

Пересечение этих множеств: $x\in (-1;2)$. Ответ: $(-1;2)$ Хотите, чтобы я проверил решение другого логарифмического неравенства или разобрал аналогичный пример с переменным основанием?