Sin^2x-3sin×cosx+2cos^2x=0

Для решения уравнения ${\sin }^{2}x-3\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x=0$ воспользуемся методом решения однородных тригонометрических уравнений второй степени. 1. Проверка условия $\cos x=0$ Если мы предположим, что $\cos x=0$, то уравнение примет вид: ${\sin }^{2}x-3\cdot \sin x\cdot 0+2\cdot 0^2=0$, следовательно, ${\sin }^{2}x=0$, что означает $\sin x=0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно согласно основному тригонометрическому тождеству ( ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$). Значит, $\cos x\ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на ${\cos }^{2}x$. 2. Деление на ${\cos }^{2}x$ Разделим каждое слагаемое уравнения на ${\cos }^{2}x$: $\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-\frac{3\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}+\frac{2{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0$ Используя определение тангенса $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ , получаем квадратное уравнение относительно $\tan x$: ${\tan }^{2}x-3\tan x+2=0$3. Решение квадратного уравнения Пусть $t=\tan x$. Тогда уравнение принимает вид: $t^2-3t+2=0$Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $t_1+t_2=3$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=2$

Корни уравнения:

1. $t_1=1$ $t_2=2$

4. Обратная подстановка Теперь решим два простейших тригонометрических уравнения: Случай 1: $\tan x=1$ $x=\arctan \left(1\right)+\pi n$ $x=\frac{\pi }{4}+\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $\tan x=2$ $x=\arctan \left(2\right)+\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$Ответ: $x=\frac{\pi }{4}+\pi n$ ; $x=\arctan \left(2\right)+\pi k$, где $n,k\in \mathbb{Z}$. Я могу составить для вас аналогичные задачи для закрепления темы или помочь с отбором корней на конкретном числовом промежутке.