Log5(5x-27)/log5(x-5)>=1

Для решения неравенства ${\log }_5(5x-27)/{\log }_5(x-5)\ge 1$ воспользуемся методом равносильных преобразований. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Логарифм определен только для положительных чисел, а знаменатель дроби не может быть равен нулю:

1. $5x-27>0⟹x>5.4$ $x-5>0⟹x>5$ ${\log }_5(x-5)\ne 0⟹x-5\ne 1⟹x\ne 6$

Итоговая ОДЗ: $x\in (5.4;6)\cup (6;+\infty )$. 2. Преобразование неравенства Используем формулу перехода к новому основанию $\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}={\log }_{b}a$ : ${\log }_{x-5}(5x-27)\ge 1$Перенесем единицу в левую часть: ${\log }_{x-5}(5x-27)-{\log }_{x-5}(x-5)\ge 0$3. Метод рационализации Для неравенств вида ${\log }_{a}f\left(x\right)-{\log }_{a}g\left(x\right)\ge 0$ применим метод рационализации. Знак разности логарифмов совпадает со знаком выражения $(a-1)\left(f\right(x)-g(x\left)\right)$ на ОДЗ: $\left(\right(x-5)-1)\cdot \left(\right(5x-27)-(x-5\left)\right)\ge 0$Упростим скобки:

1. $x-5-1=x-6$ $5x-27-x+5=4x-22$

Получаем неравенство: $(x-6)(4x-22)\ge 0$4. Решение методом интервалов Найдем корни уравнения $(x-6)(4x-22)=0$:

• $x_1=6$ $x_2=5.5$

Расставим знаки на числовой прямой для выражения $(x-6)(4x-22)$:

• $(-\infty ;5.5]\cup [6;+\infty )$ — значения, где выражение $\ge 0$.

5. Пересечение с ОДЗ Теперь наложим полученное решение на ограничения из ОДЗ: $x\in (5.4;6)\cup (6;+\infty )$.

• Интервал $(-\infty ;5.5]$ с учетом $x>5.4$ дает $(5.4;5.5]$. Интервал $[6;+\infty )$ с учетом $x\ne 6$ дает $(6;+\infty )$.

Ответ: $x\in (5.4;5.5]\cup (6;+\infty )$. Я могу также помочь с решением систем логарифмических неравенств или разобрать задачи с параметрами.