Решите уравнение (2x+3)/(x^2-2x)-(x-3)/(x^2+2x)=0

Для решения уравнения $\frac{2x+3}{x^2-2x}-\frac{x-3}{x^2+2x}=0$ выполним последовательные преобразования. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

• $x^2-2x=x(x-2)\ne 0⟹x\ne 0$ и $x\ne 2$ $x^2+2x=x(x+2)\ne 0⟹x\ne 0$ и $x\ne -2$

ОДЗ: $x\in (-\infty ;-2)\cup (-2;0)\cup (0;2)\cup (2;+\infty )$. 2. Приведение к общему знаменателю Разложим знаменатели на множители и найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ):

• Первая дробь: $\frac{2x+3}{x(x-2)}$ Вторая дробь: $\frac{x-3}{x(x+2)}$

Общий знаменатель: $x(x-2)(x+2)$. Домножим числители на недостающие множители: $\frac{(2x+3)(x+2)-(x-3)(x-2)}{x(x-2)(x+2)}=0$ 3. Решение уравнения для числителя Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Раскроем скобки в числителе:

1. $(2x+3)(x+2)=2x^2+4x+3x+6=2x^2+7x+6$ $(x-3)(x-2)=x^2-2x-3x+6=x^2-5x+6$

Составим итоговое уравнение числителя: $(2x^2+7x+6)-(x^2-5x+6)=0$ $2x^2+7x+6-x^2+5x-6=0$ $x^2+12x=0$4. Нахождение корней Вынесем $x$ за скобки: $x(x+12)=0$Отсюда получаем два возможных значения:

1. $x_1=0$ $x+12=0⟹x_2=-12$

5. Проверка по ОДЗ

• $x_1=0$: не входит в ОДЗ (при $x=0$ знаменатели обращаются в нуль). $x_2=-12$: входит в ОДЗ.

Ответ: -12. Хотите, чтобы я решил аналогичное уравнение с параметром или другим типом знаменателя?