Log5x*log5(x+1)-log5x=0

Для решения уравнения ${\log }_{5}x\cdot {\log }_5(x+1)-{\log }_{5}x=0$ воспользуемся методом разложения на множители и учтем область допустимых значений (ОДЗ). 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1. $x>0$ $x+1>0x>-1$

Итоговая ОДЗ: $x\in (0;+\infty )$ 2. Решение уравнения Вынесем общий множитель ${\log }_{5}x$ за скобки: ${\log }_{5}x\cdot \left({\log }_5\right(x+1)-1)=0$Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: Случай А: ${\log }_{5}x=0$По определению логарифма: $x=5^0$ $x_1=1$Число $1$ входит в ОДЗ ( $1>0$). Случай Б: ${\log }_5(x+1)-1=0$ ${\log }_5(x+1)=1$Представим единицу как логарифм по основанию 5: ${\log }_5(x+1)={\log }_{5}5$Приравниваем аргументы: $x+1=5$ $x_2=4$Число $4$ входит в ОДЗ ( $4>0$). 3. Проверка и ответ Оба найденных значения ( $1$ и $4$) удовлетворяют условию $x>0$. Ответ: $1;4$. Я могу составить для вас аналогичные задачи для закрепления темы или разобрать более сложные логарифмические неравенства. Хотите продолжить?