Log6 (x+3)+log6 (x-2)=1

Для решения уравнения ${\log }_6(x+3)+{\log }_6(x-2)=1$ воспользуемся свойствами логарифмов и алгоритмом решения логарифмических уравнений. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля:

• $x+3>0⟹x>-3$ $x-2>0⟹x>2$

Общим условием для системы будет $x>2$. 2. Преобразование уравнения Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: ${\log }_a\left(b\right)+{\log }_a\left(c\right)={\log }_a(b\cdot c)$. ${\log }_6\left(\right(x+3\left)\right(x-2\left)\right)=1$Согласно определению логарифма ( ${\log }_a\left(b\right)=c⟺a^c=b$), переходим к алгебраическому уравнению: $(x+3)(x-2)=6^1$3. Решение квадратного уравнения Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: $x^2-2x+3x-6=6$ $x^2+x-12=0$Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=1+48=49$Вычислим корни: $x_1=\frac{-1+\sqrt{49}}{2}=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3$ $x_2=\frac{-1-\sqrt{49}}{2}=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4$ 4. Проверка по ОДЗ Сравним полученные корни с условием $x>2$:

1. $x=3$: Условие $3>2$ выполняется. Корень подходит. $x=-4$: Условие $-4>2$ не выполняется. Корень является посторонним.

Ответ: $x=3$ Могу ли я помочь вам с решением других логарифмических или алгебраических задач?