Log3x+ log9x+ log27x=11

Для решения уравнения ${\log }_{3}x+{\log }_{9}x+{\log }_{27}x=11$ необходимо привести все логарифмы к одному основанию. Удобнее всего использовать основание $3$, так как $9=3^2$ и $27=3^3$. Пошаговое решение:

1. Применение формулы перехода к новому основанию:
   Используем свойство ${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$ :
   • ${\log }_{3}x$ остается без изменений. ${\log }_{9}x={\log }_{3^2}x=\frac{1}{2}{\log }_{3}x$ . ${\log }_{27}x={\log }_{3^3}x=\frac{1}{3}{\log }_{3}x$ .
   Подстановка в исходное уравнение:
   ${\log }_{3}x+\frac{1}{2}{\log }_{3}x+\frac{1}{3}{\log }_{3}x=11$ . Вынесение общего множителя:
   Вынесем ${\log }_{3}x$ за скобки:
   ${\log }_{3}x\cdot (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})=11$ . Сложение дробей в скобках:
   Приведем к общему знаменателю $6$:
   $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{6}{6}+\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{11}{6}$ . Нахождение значения логарифма:
   $\frac{11}{6}{\log }_{3}x=11$ .
   Чтобы найти ${\log }_{3}x$, разделим обе части на $\frac{11}{6}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{6}{11}$ ):
   ${\log }_{3}x=11\cdot \frac{6}{11}=6$ . Вычисление x:
   По определению логарифма ${\log }_{a}b=cb=a^c$:
   $x=3^6$.
   $x=729$.

Ответ: $x=729$. Вы можете проверить решение, подставив значение в онлайн-калькулятор логарифмов или выполнив проверку вручную: ${\log }_{3}729=6$, ${\log }_{9}729=3$, ${\log }_{27}729=2$; сумма $6+3+2=11$. Нужно ли вам разобрать решение аналогичного уравнения с другими основаниями или отрицательными степенями?