Log(основание 3)x+log(основание 3)x-8>2

Для решения неравенства ${\log }_{3}x+{\log }_3(x-8)>2$ необходимо выполнить следующие шаги: определить область допустимых значений (ОДЗ), преобразовать логарифмическое выражение и решить полученное квадратное неравенство. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

• $x>0$ $x-8>0⟹x>8$

Итоговая ОДЗ: $x\in (8;+\infty )$. 2. Преобразование и решение Используем свойство суммы логарифмов: ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a\left(bc\right)$. ${\log }_3\left(x\right(x-8\left)\right)>2$Представим число $2$ в виде логарифма по основанию $3$: $2={\log }_3{3}^2={\log }_{3}9$Получаем: ${\log }_3(x^2-8x)>{\log }_{3}9$Так как основание логарифма $3>1$, функция возрастает, и знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам: $x^2-8x>9$ $x^2-8x-9>0$3. Решение квадратного неравенства Найдем корни уравнения $x^2-8x-9=0$. По теореме Виета:

• $x_1+x_2=8$ $x_1\cdot x_2=-9$
  Корни: $x_1=9,x_2=-1$.

Расставим знаки на числовой прямой для выражения $(x-9)(x+1)>0$:

• $(-\infty ;-1)\cup (9;+\infty )$

4. Сопоставление с ОДЗ Наложим полученное решение на условие $x>8$:

1. Решение неравенства: $x\in (-\infty ;-1)\cup (9;+\infty )$ ОДЗ: $x\in (8;+\infty )$

Пересечение этих множеств: $x\in (9;+\infty )$. Ответ: $(9;+\infty )$ Я могу составить для вас аналогичное задание для закрепления материала или разобрать более сложный пример с переменным основанием. Хотите продолжить?