Найдите площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30 градусов , вписанного в окружность радиуса 2 см.

Площадь прямоугольного треугольника составляет 2\sqrt{3} квадратных сантиметра. ️ Шаг 1: Определение гипотенузы треугольника Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, всегда опирается своей гипотенузой на диаметр этой окружности. Таким образом, центр окружности лежит на середине гипотенузы. Зная радиус $R=2$ см, мы можем найти гипотенузу $c$: $c=2R=2\cdot 2=4$ см. ️ Шаг 2: Нахождение катетов треугольника В прямоугольном треугольнике катеты можно найти через гипотенузу и острые углы. Пусть один из острых углов $\alpha ={30}^{\circ }$.

1. Катет $a$, лежащий против угла ${30}^{\circ }$, равен половине гипотенузы:
   $a=c\cdot \sin \left({30}^{\circ }\right)=4\cdot \frac{1}{2}=2$ см. Катет $b$, прилежащий к углу ${30}^{\circ }$ (или лежащий против угла ${60}^{\circ }$):
   $b=c\cdot \cos \left({30}^{\circ }\right)=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ см.

️ Шаг 3: Вычисление площади треугольника Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется как половина произведения его катетов $a$ и $b$: $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$ Подставим найденные значения: $S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ Ответ: Площадь треугольника равна 2\sqrt{3} ${\text{см}}^2$ (приблизительно 3.46 ${\text{см}}^2$). Нужно ли вам рассчитать периметр этого треугольника или рассмотреть случай с вписанной в него окружностью?