3sin^2x-sin2x-cos^2x=2

Для решения уравнения $3{\sin }^{2}x-\sin 2x-{\cos }^{2}x=2$ воспользуемся тригонометрическими тождествами и приведем его к однородному уравнению второго порядка. 1. Преобразование уравнения Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и представим число $2$ через основное тригонометрическое тождество $2=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$. $3{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$Раскроем скобки в правой части: $3{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=2{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x$2. Приведение к однородному виду Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные: $3{\sin }^{2}x-2{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x-{\cos }^{2}x-2{\cos }^{2}x=0$ ${\sin }^{2}x-2\sin x\cos x-3{\cos }^{2}x=0$3. Решение однородного уравнения Разделим обе части уравнения на ${\cos }^{2}x$ (при условии, что $\cos x\ne 0$, так как если $\cos x=0$, то из уравнения следовало бы $\sin x=0$, что невозможно одновременно). $\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-\frac{2\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}-\frac{3{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0$ ${\text{tg}}^{2}x-2\text{tg}x-3=0$4. Замена переменной Пусть $t=\text{tg}x$. Получаем квадратное уравнение: $t^2-2t-3=0$По теореме Виета или через дискриминант найдем корни:

• $D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$ $t_1=\frac{2+4}{2}=3$ $t_2=\frac{2-4}{2}=-1$

5. Обратная замена

1. $\text{tg}x=3⟹x=\text{arctg}\left(3\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $\text{tg}x=-1⟹x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=\text{arctg}\left(3\right)+\pi n,x=-\frac{\pi }{4}+\pi k;n,k\in \mathbb{Z}$ Я могу также выполнить отбор корней на заданном промежутке, если это необходимо.