Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума данной функции f(x)=x^2+2x^3-2x^4

Функция возрастает на промежутках $(-\infty ,-0,25]$ и $[0,1]$, убывает на промежутках $[-0,25,0]$ и $[1,+\infty )$, при этом точки $x=-0,25$ и $x=1$ являются точками максимума, а $x=0$ — точкой минимума. Шаг 1: Нахождение производной функции Для анализа функции на монотонность и экстремумы необходимо найти её производную. Применим правило дифференцирования степенной функции: $f^{\prime }\left(x\right)=(x^2+2x^3-2x^4{)}^{\prime }=2x+6x^2-8x^3$Шаг 2: Определение критических точек Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю: $-8x^3+6x^2+2x=0$Вынесем общий множитель $-2x$ за скобки: $-2x(4x^2-3x-1)=0$Первый корень $x_1=0$. Для нахождения остальных корней решим квадратное уравнение $4x^2-3x-1=0$: $D=(-3{)}^2-4\cdot 4\cdot (-1)=9+16=25$ $x_2=\frac{3+5}{8}=1,x_3=\frac{3-5}{8}=-0,25$ Шаг 3: Исследование знаков производной и интервалов монотонности Определим знаки $f^{\prime }\left(x\right)$ на интервалах, разделенных точками $-0,25$, $0$ и $1$:

1. На $(-\infty ,-0,25)$: $f^{\prime }\left(-1\right)=8+6-2=12>0$ (функция возрастает). На $(-0,25,0)$: $f^{\prime }(-0,1)=0,008+0,06-0,2=-0,132<0$ (функция убывает). На $(0,1)$: $f^{\prime }(0,5)=-1+1,5+1=1,5>0$ (функция возрастает). На $(1,+\infty )$: $f^{\prime }\left(2\right)=-64+24+4=-36<0$ (функция убывает).

Шаг 4: Определение точек экстремума Исходя из смены знака производной:

• В точке $x=-0,25$ знак меняется с $+$ на $-$, это точка максимума. В точке $x=0$ знак меняется с $-$ на $+$, это точка минимума. В точке $x=1$ знак меняется с $+$ на $-$, это точка максимума.

Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty ,-0,25]$ и $[0,1]$. Промежутки убывания: $[-0,25,0]$ и $[1,+\infty )$. Точки экстремума: $x_{max}=-0,25$, $x_{min}=0$, $x_{max}=1$. Требуется ли вам вычислить значения функции в этих точках экстремума для построения графика?