Решите уравнение: sin2x + 2cos^2x=0

Для решения уравнения $\sin 2x+2{\cos }^{2}x=0$ воспользуемся тригонометрическими формулами и методами разложения на множители. 1. Преобразование уравнения Используем формулу двойного угла для синуса: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим это выражение в исходное уравнение: $2\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x=0$2. Вынесение общего множителя Заметим, что оба слагаемых имеют общий множитель $2\cos x$. Вынесем его за скобки: $2\cos x(\sin x+\cos x)=0$3. Расщепление уравнения Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая: Случай А: $\cos x=0$Отсюда следует стандартное решение: $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Случай Б: $\sin x+\cos x=0$Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на $\cos x$ (при условии, что $\cos x\ne 0$, так как если $\cos x=0$, то и $\sin x$ должен быть равен 0, что невозможно по основному тригонометрическому тождеству): $\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x}=0$ $\text{tg}x+1=0$ $\text{tg}x=-1$Отсюда находим корень: $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\frac{\pi }{2}+\pi n;x=-\frac{\pi }{4}+\pi k;n,k\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь вам произвести отбор корней этого уравнения на заданном промежутке, если это необходимо.