Cos2x+(2cos(п/2+х)+1=0

Для решения уравнения $\cos \left(2x\right)+2\cos (\frac{\pi }{2}+x)+1=0$ воспользуемся тригонометрическими формулами приведения и двойного угла. 1. Упрощение выражения с помощью формул приведения Согласно формулам приведения: $\cos (\frac{\pi }{2}+x)=-\sin \left(x\right)$ Подставим это в исходное уравнение: $\cos \left(2x\right)+2(-\sin (x\left)\right)+1=0$ $\cos \left(2x\right)-2\sin \left(x\right)+1=0$2. Применение формулы двойного угла Чтобы привести уравнение к одной функции ( $\sin x$), используем формулу косинуса двойного угла: $\cos \left(2x\right)=1-2{\sin }^2\left(x\right)$Подставляем в уравнение: $(1-2{\sin }^2(x\left)\right)-2\sin \left(x\right)+1=0$ $-2{\sin }^2\left(x\right)-2\sin \left(x\right)+2=0$Разделим всё уравнение на $-2$: ${\sin }^2\left(x\right)+\sin \left(x\right)-1=0$3. Решение квадратного уравнения Пусть $t=\sin \left(x\right)$, где $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение: $t^2+t-1=0$Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=1+4=5$Корни уравнения: $t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ 4. Анализ корней Проверим корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

1. $t_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx \frac{-1+2.236}{2}\approx 0.618$ (подходит, так как $0.618\le 1$) $t_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\approx \frac{-1-2.236}{2}\approx -1.618$ (не подходит, так как $\left|t\right|>1$)

5. Нахождение $x$ Решаем уравнение для первого корня: $\sin \left(x\right)=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ Используя определение арксинуса, получаем общую формулу: $x=(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Если вам необходимо произвести отбор корней на конкретном промежутке, я могу помочь с этим расчетом.