Найдите точки экстремума и экстремумы функции f(x)=x3-3x+5

Точка максимума функции $x=-1$ с локальным максимумом $f\left(-1\right)=7$, точка минимума функции $x=1$ с локальным минимумом $f\left(1\right)=3$. Шаг 1: Нахождение производной функции Для исследования функции на экстремумы необходимо найти её производную. Используем правила дифференцирования степенной функции: $f^{\prime }\left(x\right)=(x^3-3x+5{)}^{\prime }=3x^2-3$Шаг 2: Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых наклон касательной равен нулю: $3x^2-3=0$ $3(x^2-1)=0$ $x^2=1$Критическими точками являются $x_1=-1$ и $x_2=1$. Шаг 3: Определение знаков производной и характера экстремумов Проверим знак производной $f^{\prime }\left(x\right)=3(x-1)(x+1)$ на интервалах, разделенных критическими точками:

1. На интервале $(-\infty ,-1)$: выберем $x=-2$, $f^{\prime }\left(-2\right)=3(-2{)}^2-3=9>0$. Функция возрастает. На интервале $(-1,1)$: выберем $x=0$, $f^{\prime }\left(0\right)=-3<0$. Функция убывает. На интервале $(1,\infty )$: выберем $x=2$, $f^{\prime }\left(2\right)=9>0$. Функция возрастает.

Так как в точке $x=-1$ знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Так как в точке $x=1$ знак производной меняется с минуса на плюс, это точка минимума. Шаг 4: Вычисление экстремумов функции Найдем значения функции в точках экстремума:

1. Для $x=-1$: $f\left(-1\right)=(-1{)}^3-3(-1)+5=-1+3+5=7$. Для $x=1$: $f\left(1\right)=(1{)}^3-3(1)+5=1-3+5=3$.

Ответ: Точки экстремума: $x_{max}=-1$, $x_{min}=1$. Экстремумы функции: $f\left(-1\right)=7$, $f\left(1\right)=3$. Нужно ли вам построить график этой функции или исследовать её на точки перегиба?