Найдите точку максимум функции y=49/x+x+11

Точка максимума функции $y=\frac{49}{x}+x+11$ равна -7. Шаг 1: Нахождение производной функции Для нахождения точек экстремума необходимо вычислить производную функции $y=49x^{-1}+x+11$ по переменной $x$. Используем правила дифференцирования степенной функции: $y^{\prime }=-\frac{49}{x^2}+1$ Область определения функции и её производной: $x\ne 0$. Шаг 2: Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки, в которых наклон касательной равен нулю: $1-\frac{49}{x^2}=0$ $\frac{x^2-49}{x^2}=0$ Отсюда следует, что числитель должен быть равен нулю: $x^2=49$ $x_1=7,x_2=-7$Шаг 3: Определение точки максимума Проверим знаки производной на интервалах, разделенных точками $-7,0,7$, чтобы определить характер экстремумов:

1. На интервале $(-\infty ,-7)$: возьмем $x=-10$, тогда $y^{\prime }=1-\frac{49}{100}=0.51>0$ (функция возрастает). На интервале $(-7,0)$: возьмем $x=-1$, тогда $y^{\prime }=1-49=-48<0$ (функция убывает). На интервале $(0,7)$: возьмем $x=1$, тогда $y^{\prime }=1-49=-48<0$ (функция убывает). На интервале $(7,\infty )$: возьмем $x=10$, тогда $y^{\prime }=1-0.49=0.51>0$ (функция возрастает).

Точка максимума — это точка, при переходе через которую производная меняет знак с плюса на минус. Это происходит в точке $x=-7$. Ответ: -7 Хотите ли вы также вычислить наибольшее значение этой функции на определенном отрезке или найти точку минимума?