Решите уравнение: 2×4^x-15×2^x-8=0

Для решения уравнения $2\cdot 4^x-15\cdot 2^x-8=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Заметим, что $4^x=(2^2{)}^x=(2^x{)}^2$. Перепишем исходное уравнение: $2\cdot (2^x{)}^2-15\cdot 2^x-8=0$2. Замена переменной Пусть $2^x=t$. Важно помнить, что показательная функция всегда принимает положительные значения, поэтому вводим ограничение: $t>0$. Теперь уравнение принимает вид квадратного: $2t^2-15t-8=0$3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=(-15{)}^2-4\cdot 2\cdot (-8)$ $D=225+64=289$ $\sqrt{D}=\sqrt{289}=17$ Находим корни $t$: $t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{15+17}{2\cdot 2}=\frac{32}{4}=8$ $t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{15-17}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-0.5$ 4. Обратная замена Проверим корни на соответствие условию $t>0$:

1. $t_1=8$: Подходит, так как $8>0$. $t_2=-0.5$: Не подходит, так как значение $2^x$ не может быть отрицательным.

Решим уравнение для первого корня: $2^x=8$Так как $8=2^3$, получаем: $2^x=2^3$ $x=3$Ответ: $x=3$. Хотите, чтобы я разобрал аналогичное уравнение с другим основанием или показал, как решать логарифмические уравнения?