Logх(x-2)=-1 реши логарифмическое уравнение

Для решения уравнения ${\log }_x(x-2)=-1$ необходимо последовательно выполнить следующие шаги: определить область допустимых значений (ОДЗ), преобразовать уравнение согласно определению логарифма и проверить полученные корни. 1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ) Логарифм ${\log }_{a}b$ определен только при соблюдении следующих условий:

• Основание логарифма $x>0$ Основание логарифма $x\ne 1$ Аргумент логарифма $x-2>0⟹x>2$

Объединяя условия ( $x>0$, $x\ne 1$, $x>2$), получаем итоговое ограничение: $x>2$. 2. Решение уравнения Используем определение логарифма: если ${\log }_{a}b=c$, то $a^c=b$. $x^{-1}=x-2$Преобразуем отрицательную степень в дробь: $\frac{1}{x}=x-2$ Умножим обе части уравнения на $x$ (так как по ОДЗ $x>2$, то $x\ne 0$): $1=x(x-2)$ $1=x^2-2x$Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $a{x}^2+bx+c=0$: $x^2-2x-1=0$3. Поиск корней через дискриминант Вычислим дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)=4+4=8$Находим корни по формуле $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ : $x=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}$ $x_1=1+\sqrt{2}$ $x_2=1-\sqrt{2}$ 4. Проверка по ОДЗ Сравним полученные значения с условием $x>2$:

1. $x_1=1+\sqrt{2}$ :
   Приблизительное значение $\sqrt{2}\approx 1,41$ .
   $1+1,41=2,41$.
   $2,41>2$ — корень подходит. $x_2=1-\sqrt{2}$ :
   $1-1,41=-0,41$.
   $-0,41<2$ — корень не подходит.

Ответ: $x=1+\sqrt{2}$ Могу ли я помочь вам с решением других логарифмических или квадратных уравнений?