Решите уравнение: x^3-3x-1=0

Для решения уравнения третьей степени вида $x^3+px+q=0$, где $p=-3$ и $q=-1$, наиболее эффективным методом является тригонометрическая подстановка Виета. Это связано с тем, что дискриминант уравнения отрицателен, что указывает на наличие трех действительных корней. 1. Анализ уравнения Общий вид уравнения: $x^3+px+q=0$. В нашем случае:

• $p=-3$ $q=-1$

Проверим условие применимости тригонометрической формулы ( $Q^3+R^2<0$): $Q=\frac{p}{3}=\frac{-3}{3}=-1$ $R=\frac{q}{2}=\frac{-1}{2}=-0.5$ Так как $Q^3+R^2=(-1{)}^3+(-0.5{)}^2=-1+0.25=-0.75<0$, уравнение имеет три действительных корня. 2. Использование тригонометрической формулы Для поиска корней используем замену $x=2\sqrt{-Q}\cos \left(\varphi \right)$ . Сначала найдем угол $\varphi$: $\cos \left(3\varphi \right)=\frac{-q}{2\sqrt{-Q^3}}$ $\cos \left(3\varphi \right)=\frac{1}{2\sqrt{-(-1{)}^3}}=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}$ Следовательно: $3\varphi =\arccos \left(\frac{1}{2}\right)={60}^{\circ }\text{(или}\frac{\pi }{3}\text{рад)}$ 3. Вычисление корней Общая формула для корней: $x_k=2\sqrt{-Q}\cos \left(\frac{3\varphi +2\pi k}{3}\right),\text{где}k=0,1,2$ Так как $2\sqrt{-Q}=2\sqrt{1}=2$ , получаем:

• Первый корень ( $k=0$):
  $x_1=2\cos \left(\frac{{60}^{\circ }}{3}\right)=2\cos \left({20}^{\circ }\right)$ Приблизительно: $x_1\approx 2\cdot 0.9397\approx 1.8794$ Второй корень ( $k=1$):
  $x_2=2\cos \left(\frac{{60}^{\circ }+{360}^{\circ }}{3}\right)=2\cos \left({140}^{\circ }\right)$ Приблизительно: $x_2\approx 2\cdot \left(-0.7660\right)\approx -1.5321$ Третий корень ( $k=2$):
  $x_3=2\cos \left(\frac{{60}^{\circ }+{720}^{\circ }}{3}\right)=2\cos \left({260}^{\circ }\right)$ Приблизительно: $x_3\approx 2\cdot \left(-0.1736\right)\approx -0.3473$

Окончательный ответ: Корни уравнения $x^3-3x-1=0$ в точном виде:

1. $x_1=2\cos \left({20}^{\circ }\right)$ $x_2=2\cos \left({140}^{\circ }\right)$ $x_3=2\cos \left({260}^{\circ }\right)$

Могу ли я помочь вам с проверкой этих корней через теорему Виета или решить другое уравнение?