Найдите все первообразные функции: f(x)= x^3 - 3x^2 + x - 1

Все первообразные функции $f\left(x\right)=x^3-3x^2+x-1$ имеют вид $\mathbf{F}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{4}}}{\mathbf{4}}\mathbf{-}{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{C}$ , где $C$ — произвольная постоянная. Шаг 1: Применение правил интегрирования и нахождение общего вида первообразной Для нахождения совокупности всех первообразных функции $f\left(x\right)$ необходимо вычислить неопределенный интеграл $F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx$. Используя свойство линейности интеграла, вычислим первообразную для каждого слагаемого отдельно по формуле $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ :

1. Для $x^3$: первообразная равна $\frac{x^4}{4}$ . Для $-3x^2$: первообразная равна $-3\cdot \frac{x^3}{3}=-x^3$ . Для $x$: первообразная равна $\frac{x^2}{2}$ . Для $-1$: первообразная равна $-x$.

Суммируя полученные результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общее выражение. Ответ: Общий вид первообразных для функции $f\left(x\right)=x^3-3x^2+x-1$: $\mathbf{F}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}{\mathbf{x}}^{\mathbf{4}}\mathbf{-}{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{C}$ Укажите, требуется ли вам проверка результата путем дифференцирования или решение для конкретной точки графика первообразной.