Вычислить производную функции f(x)=ln(-x в квадрате+5x+1)

Для вычисления производной функции $f\left(x\right)=\ln (-x^2+5x+1)$ необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции. Формулы и правила

1. Производная натурального логарифма: $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{1}{u}\cdot u^{\prime }$ Правило суммы: $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$ Производная степени: $(x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$ Производная константы: $(C{)}^{\prime }=0$

Пошаговое решение 1. Обозначим внутреннюю функцию: Пусть $u=-x^2+5x+1$. Тогда исходная функция принимает вид $f\left(u\right)=\ln \left(u\right)$. 2. Применим формулу производной сложной функции: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{-x^2+5x+1}\cdot (-x^2+5x+1{)}^{\prime }$ 3. Вычислим производную внутренней части:

• Производная $-x^2$ равна $-2x$. Производная $5x$ равна $5$. Производная $1$ равна $0$.

Следовательно: $(-x^2+5x+1{)}^{\prime }=-2x+5$4. Составим итоговое выражение: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{-x^2+5x+1}\cdot (-2x+5)$ Для удобства перенесем выражение в числитель: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-2x+5}{-x^2+5x+1}$ Ответ $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{5-2x}{-x^2+5x+1}$ Я могу также помочь вам найти область определения этой функции или исследовать её на экстремумы. Хотите продолжить анализ?