Найдите точку минимума функции y=x^3+x^2-16x+5

Для нахождения точки минимума функции необходимо выполнить стандартный алгоритм: найти производную, определить критические точки и исследовать поведение функции в окрестности этих точек. 1. Нахождение производной функции Найдем производную функции $y=x^3+x^2-16x+5$, используя правила дифференцирования степенной функции: $y^{\prime }=(x^3{)}^{\prime }+(x^2{)}^{\prime }-(16x{)}^{\prime }+(5{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=3x^2+2x-16$2. Определение критических точек Критические точки — это значения $x$, при которых производная равна нулю. Приравняем полученное выражение к нулю и решим квадратное уравнение: $3x^2+2x-16=0$Воспользуемся формулой дискриминанта: $D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 3\cdot \left(-16\right)=4+192=196$ $\sqrt{D}=\sqrt{196}=14$ Найдем корни уравнения: $x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2+14}{2\cdot 3}=\frac{12}{6}=2$ $x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2-14}{2\cdot 3}=\frac{-16}{6}=-\frac{8}{3}\approx -2.67$ 3. Исследование знаков производной Точка минимума — это точка, в которой производная меняет свой знак с минуса на плюс. Проверим знаки производной на интервалах, разделенных найденными точками:

• Интервал $(-\infty ;-8/3)$: Возьмем $x=-3$.
  $y^{\prime }\left(-3\right)=3(-3{)}^2+2(-3)-16=27-6-16=5>0$ (Функция возрастает) Интервал $(-8/3;2)$: Возьмем $x=0$.
  $y^{\prime }\left(0\right)=3(0{)}^2+2(0)-16=-16<0$ (Функция убывает) Интервал $(2;+\infty )$: Возьмем $x=3$.
  $y^{\prime }\left(3\right)=3(3{)}^2+2(3)-16=27+6-16=17>0$ (Функция возрастает)

4. Определение точки минимума

• В точке $x=-8/3$ производная меняет знак с $+$ на $-$. Это точка максимума. В точке $x=2$ производная меняет знак с $-$ на $+$. Это точка минимума.

Ответ: 2 Хотите, чтобы я решил аналогичную задачу с поиском наибольшего или наименьшего значения на отрезке?