Найти длину хорды эллипса 44x^2+100y^2=4400, направленной по диагонали прямоугольника, построенного на осях эллипса.

Длина искомой хорды эллипса составляет $12\sqrt{2}$ . ️ Шаг 1: Приведение уравнения эллипса к каноническому виду Исходное уравнение эллипса: $44x^2+100y^2=4400$. Разделим обе части уравнения на $4400$, чтобы получить каноническую форму $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ : $\frac{44x^2}{4400}+\frac{100y^2}{4400}=1$ $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{44}=1$ Из полученного уравнения находим квадраты полуосей: $a^2=100$ (откуда $a=10$) и $b^2=44$ (откуда $b=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$ ). ️ Шаг 2: Определение уравнения прямой, содержащей хорду Прямоугольник, построенный на осях эллипса, имеет вершины в точках $(\pm a,\pm b)$. Диагонали этого прямоугольника проходят через начало координат. Уравнение прямой, проходящей через начало координат и вершину $(a,b)$, имеет вид $y=kx$, где угловой коэффициент $k$ равен: $k=\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{44}}{10}=\frac{2\sqrt{11}}{10}=\frac{\sqrt{11}}{5}$ Следовательно, уравнение прямой диагонали: $y=\frac{\sqrt{11}}{5}x$ . ️ Шаг 3: Нахождение точек пересечения прямой и эллипса Подставим выражение для $y$ в каноническое уравнение эллипса: $\frac{x^2}{100}+\frac{(\frac{\sqrt{11}}{5}x{)}^2}{44}=1$ $\frac{x^2}{100}+\frac{\frac{11}{25}{x}^2}{44}=1$ $\frac{x^2}{100}+\frac{x^2}{100}=1$ $\frac{2x^2}{100}=1⟹x^2=50⟹x=\pm 5\sqrt{2}$ Найдем соответствующие значения $y$ для $x_1=5\sqrt{2}$ : $y_1=\frac{\sqrt{11}}{5}\cdot 5\sqrt{2}=\sqrt{22}$ Точки пересечения (концы хорды): $M_1(5\sqrt{2},\sqrt{22})$ и $M_2(-5\sqrt{2},-\sqrt{22})$ . ️ Шаг 4: Вычисление длины хорды Длина хорды $L$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками: $L=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$ $L=\sqrt{(5\sqrt{2}-(-5\sqrt{2}){)}^2+(\sqrt{22}-(-\sqrt{22}){)}^2}$ $L=\sqrt{(10\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{22}{)}^2}$ $L=\sqrt{200+88}=\sqrt{288}=12\sqrt{2}$ Ответ: Длина хорды равна 12\sqrt{2}. Требуется ли вам вычислить эксцентриситет данного эллипса или найти фокусы для дальнейшего анализа фигуры?