Найти производную функции: у=tgx/x

Для нахождения производной функции $y=\frac{\tan x}{x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ 1. Определение компонентов Пусть:

• $u=\tan x$, тогда её производная $u^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ (или ${\sec }^{2}x$) $v=x$, тогда её производная $v^{\prime }=1$

2. Применение формулы Подставим значения в формулу производной частного: $y^{\prime }=\frac{(\tan x{)}^{\prime }\cdot x-\tan x\cdot (x{)}^{\prime }}{x^2}$ $y^{\prime }=\frac{\frac{1}{{\cos }^{2}x}\cdot x-\tan x\cdot 1}{x^2}$ 3. Упрощение выражения Приведем числитель к общему знаменателю: $y^{\prime }=\frac{\frac{x}{{\cos }^{2}x}-\tan x}{x^2}$ Так как $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ , можно записать: $y^{\prime }=\frac{\frac{x}{{\cos }^{2}x}-\frac{\sin x}{\cos x}}{x^2}=\frac{\frac{x-\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}}{x^2}$ Окончательный вид производной: $y^{\prime }=\frac{x-\sin x\cos x}{x^2{\cos }^{2}x}$

Примечание: Используя формулу двойного угла ( $2\sin x\cos x=\sin 2x$), числитель можно также представить в виде $x-\frac{1}{2}\sin 2x$ .

Следующим шагом я могу помочь вам вычислить значение этой производной в конкретной точке или найти производную более сложной функции.