Используя определение производной найти производную функции f(x)=ln(3x+1)

Производная функции $f\left(x\right)=\ln (3x+1)$, вычисленная по определению, равна ${\mathbf{f}}^{\prime }\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}}$ . Шаг 1: Подстановка функции в определение производной Определение производной задается формулой: $f^{\prime }\left(x\right)=\underset{\Delta x0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f\left(x\right)}{\Delta x}$ Подставим нашу функцию $f\left(x\right)=\ln (3x+1)$: $f^{\prime }\left(x\right)=\underset{\Delta x0}{\lim }\frac{\ln \left(3\right(x+\Delta x)+1)-\ln (3x+1)}{\Delta x}$ Шаг 2: Преобразование разности логарифмов Используя свойство логарифмов $\ln a-\ln b=\ln \left(\frac{a}{b}\right)$ , преобразуем числитель: $f^{\prime }\left(x\right)=\underset{\Delta x0}{\lim }\frac{\ln \left(\frac{3x+3\Delta x+1}{3x+1}\right)}{\Delta x}$ Разделим числитель дроби внутри логарифма на знаменатель почленно: $\frac{3x+3\Delta x+1}{3x+1}=\frac{(3x+1)+3\Delta x}{3x+1}=1+\frac{3\Delta x}{3x+1}$ Теперь выражение для производной принимает вид: $f^{\prime }\left(x\right)=\underset{\Delta x0}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{3\Delta x}{3x+1})}{\Delta x}$ Шаг 3: Вычисление предела Для нахождения предела воспользуемся вторым замечательным пределом в форме $\underset{t0}{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}=1$ . В нашем случае роль $t$ играет выражение $\frac{3\Delta x}{3x+1}$ . Чтобы привести предел к нужному виду, умножим и разделим выражение на $\frac{3}{3x+1}$ : $f^{\prime }\left(x\right)=\underset{\Delta x0}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{3\Delta x}{3x+1})}{\frac{3\Delta x}{3x+1}}\cdot \frac{3}{3x+1}$ Так как $\frac{3}{3x+1}$ не зависит от $\Delta x$, вынесем этот множитель за знак предела: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{3}{3x+1}\cdot \underset{\Delta x0}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{3\Delta x}{3x+1})}{\frac{3\Delta x}{3x+1}}$ Поскольку при $\Delta x0$ величина $t=\frac{3\Delta x}{3x+1}$ также стремится к $0$, предел равен $1$: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{3}{3x+1}\cdot 1=\frac{3}{3x+1}$ Ответ: f'(x) = \frac{3}{3x + 1} Требуется ли вам разобрать нахождение производной для сложной функции с использованием правила дифференцирования?