Lim√x+1-1/x если x->0

Чтобы найти предел функции $\underset{x0}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ , необходимо избавиться от неопределенности вида $\frac{0}{0}$ . Решение методом умножения на сопряженное Наиболее эффективный способ избавиться от иррациональности в числителе — умножить и числитель, и знаменатель на сопряженное выражение: $(\sqrt{x+1}+1)$ .

1. Записываем выражение:
   $\underset{x0}{\lim }\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}$ Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ в числителе:
   $\underset{x0}{\lim }\frac{(\sqrt{x+1}{)}^2-1^2}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\underset{x0}{\lim }\frac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}$ Упрощаем числитель и сокращаем дробь:
   $\underset{x0}{\lim }\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\underset{x0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$ Подставляем значение $x=0$:
   $\frac{1}{\sqrt{0+1}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

Альтернативный метод (Правило Лопиталя) Так как при подстановке получается неопределенность $\frac{0}{0}$ , можно взять производные числителя и знаменателя по отдельности:

• Производная числителя: $(\sqrt{x+1}-1{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$ Производная знаменателя: $(x{)}^{\prime }=1$

Вычисляем предел: $\underset{x0}{\lim }\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{1}=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}$ Ответ: $\underset{x0}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=0.5$ Я могу также разобрать для вас подобные пределы с использованием разложения в ряд Тейлора или решить более сложную задачу на эту тему.