Найти производную функцию. y=ln sin^3 5x

Для нахождения производной функции $y=\ln \left({\sin }^3\right(5x\left)\right)$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). 1. Упрощение функции перед дифференцированием Согласно свойствам логарифма $\ln \left(a^b\right)=b\ln \left(a\right)$, мы можем вынести показатель степени за знак логарифма: $y=3\ln \left(\sin \right(5x\left)\right)$2. Пошаговое дифференцирование Теперь найдем производную $y^{\prime }$, последовательно переходя от внешней функции к внутренней:

1. Константа: Множитель $3$ остается перед производной. Логарифм: Производная $\ln \left(u\right)$ равна $\frac{1}{u}$ . В нашем случае $u=\sin \left(5x\right)$. Синус: Производная $\sin \left(v\right)$ равна $\cos \left(v\right)$. В нашем случае $v=5x$. Линейная функция: Производная $5x$ равна $5$.

3. Запись вычислений Применим цепное правило: $y^{\prime }=3\cdot \frac{1}{\sin \left(5x\right)}\cdot \left(\sin \right(5x){)}^{\prime }$ $y^{\prime }=3\cdot \frac{1}{\sin \left(5x\right)}\cdot \cos \left(5x\right)\cdot (5x{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=3\cdot \frac{1}{\sin \left(5x\right)}\cdot \cos \left(5x\right)\cdot 5$ 4. Итоговое упрощение Перемножим коэффициенты и воспользуемся тригонометрическим отношением $\frac{\cos \left(\alpha \right)}{\sin \left(\alpha \right)}=\text{ctg}\left(\alpha \right)$ : $y^{\prime }=15\cdot \frac{\cos \left(5x\right)}{\sin \left(5x\right)}$ $y^{\prime }=15\text{ctg}\left(5x\right)$Ответ: $y^{\prime }=15\text{ctg}\left(5x\right)$Я могу также найти производную этой функции, если она является частью более сложного уравнения, или вычислить её значение в конкретной точке. Хотите, чтобы я это сделал?