Найти производную f(x)=2x^7+4√x

Для нахождения производной функции $f\left(x\right)=2x^7+4\sqrt{x}$ воспользуемся правилами дифференцирования суммы и степенной функции. 1. Подготовка функции Сначала переведем корень в степень, чтобы было удобнее применять формулу дифференцирования: $f\left(x\right)=2x^7+4x^{1/2}$2. Основные правила и формулы Для решения нам понадобятся следующие правила:

• Производная степени: $(x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$ Вынос константы: $(c\cdot u{)}^{\prime }=c\cdot u^{\prime }$ Производная суммы: $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$

3. Пошаговое вычисление Находим производную от каждого слагаемого в отдельности:

1. Производная первого слагаемого:
   $(2x^7{)}^{\prime }=2\cdot 7\cdot x^{7-1}=14x^6$ Производная второго слагаемого:
   $(4x^{1/2}{)}^{\prime }=4\cdot \frac{1}{2}\cdot x^{1/2-1}=2x^{-1/2}$

4. Итоговый результат Соединяем полученные части: $f^{\prime }\left(x\right)=14x^6+2x^{-1/2}$Для записи в стандартном виде вернем отрицательную дробную степень обратно в корень: $f^{\prime }\left(x\right)=14x^6+\frac{2}{\sqrt{x}}$ Ответ: $f^{\prime }\left(x\right)=14x^6+\frac{2}{\sqrt{x}}$ Могу также рассчитать значение этой производной в конкретной точке $x$, если это необходимо.