5 в степени х+ 125•5 в степени -х=30

Для решения уравнения $5^x+125\cdot 5^{-x}=30$ воспользуемся методом введения новой переменной.

1. Преобразование уравнения: Используя свойство степени $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ , перепишем уравнение в виде:
   $5^x+\frac{125}{5^x}=30$ Замена переменной: Пусть $5^x=t$. Учитывая, что показательная функция всегда положительна, накладываем условие $t>0$.
   Уравнение принимает вид:
   $t+\frac{125}{t}=30$ Приведение к квадратному уравнению: Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t\ne 0$):
   $t^2+125=30t$Перенесем все члены в левую часть:
   $t^2-30t+125=0$ Решение квадратного уравнения: Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета.
   • По теореме Виета: сумма корней $t_1+t_2=30$, произведение $t_1\cdot t_2=125$. Подходящие значения: $t_1=5$ и $t_2=25$.
     Оба значения удовлетворяют условию $t>0$.
   Обратная замена:
   • При $t=5$:
     $5^x=5^1⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ При $t=25$:
     $5^x=5^2⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{2}$

Ответ: 1; 2. Хотите разобрать решение другого типа показательного уравнения или проверить конкретный пример?