Найти наименьший положительный корень уравнения: cos(5π/2 + 4x) = (√6 - 2√2) / (2√3 - 4)

Наименьшим положительным корнем уравнения является $x=\frac{5\pi }{16}$ . ️ Шаг 1: Упрощение левой части уравнения Используем формулы приведения для тригонометрических функций. Заметим, что аргумент можно представить как $\frac{5\pi }{2}+4x=2\pi +\frac{\pi }{2}+4x$ . Так как функция косинуса имеет период $2\pi$, получаем: $\cos (\frac{5\pi }{2}+4x)=\cos (\frac{\pi }{2}+4x)$ Согласно формулам приведения: $\cos (\frac{\pi }{2}+4x)=-\sin \left(4x\right)$ ️ Шаг 2: Упрощение правой части уравнения Преобразуем выражение в правой части, вынося общие множители в числителе и знаменателе: $\frac{\sqrt{6}-2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-4}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-2)}{2(\sqrt{3}-2)}$ Сокращая на общий множитель $(\sqrt{3}-2)$ , который не равен нулю, получаем: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ️ Шаг 3: Решение полученного уравнения Теперь уравнение принимает вид: $-\sin \left(4x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(4x\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ Для синуса это соответствует двум сериям решений:

1. $4x=-\frac{\pi }{4}+2\pi kx=-\frac{\pi }{16}+\frac{\pi k}{2}$ $4x=\frac{5\pi }{4}+2\pi kx=\frac{5\pi }{16}+\frac{\pi k}{2}$
   где $k\in \mathbb{Z}$.

️ Шаг 4: Поиск наименьшего положительного корня Рассмотрим значения $x$ при различных $k$ для обеих серий:

1. Из первой серии при $k=1$: $x=-\frac{\pi }{16}+\frac{8\pi }{16}=\frac{7\pi }{16}$ Из второй серии при $k=0$: $x=\frac{5\pi }{16}$

Сравнивая $\frac{7\pi }{16}$ и $\frac{5\pi }{16}$ , находим, что $\frac{5\pi }{16}$ является наименьшим положительным значением. Ответ: x = \frac{5\pi}{16} Нужно ли вам проверить данное значение подстановкой в исходное уравнение или найти корни на определенном промежутке?