Найти производную при данном значении аргумента f(x)=sin^2 x x= п/4

Для нахождения значения производной функции $f\left(x\right)={\sin }^{2}x$ при $x=\frac{\pi }{4}$ , необходимо выполнить два шага: найти общую формулу производной и подставить в неё заданное значение. 1. Нахождение производной функции Функция $f\left(x\right)={\sin }^{2}x$ является сложной функцией вида $u^2$, где $u=\sin x$. Для дифференцирования воспользуемся правилом вычисления производной степенной функции и цепным правилом:

1. Применяем правило для степени: $\frac{d}{dx}\left[u^n\right]=n\cdot u^{n-1}\cdot u^{\prime }$ . В нашем случае: $f^{\prime }\left(x\right)=2\cdot \sin x\cdot (\sin x{)}^{\prime }$. Так как производная $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, получаем:
   $f^{\prime }\left(x\right)=2\sin x\cos x$

2. Упрощение выражения Согласно тригонометрической формуле двойного аргумента, выражение $2\sin x\cos x$ равно $\sin \left(2x\right)$. Таким образом: $f^{\prime }\left(x\right)=\sin \left(2x\right)$3. Вычисление значения в точке $x=\frac{\pi }{4}$ Подставим заданное значение аргумента в полученную производную:

1. Подстановка: $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sin (2\cdot \frac{\pi }{4})$ . Сокращение дроби: $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)$ . Значение синуса: Из таблицы тригонометрических значений известно, что $\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$ .

Ответ: Производная функции $f\left(x\right)={\sin }^{2}x$ при $x=\frac{\pi }{4}$ равна 1. Хотите, чтобы я разобрал аналогичный пример с косинусом или другой тригонометрической функцией?