Под корнем x+1×под корнем x+6=6

Для решения уравнения $\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+6}=6$ воспользуемся методом возведения обеих частей в квадрат и последующей проверкой корней. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

• $x+1\ge 0x\ge -1$ $x+6\ge 0x\ge -6$

Следовательно, область допустимых значений: $x\ge -1$. 2. Решение уравнения Объединим множители под один корень: $\sqrt{(x+1)(x+6)}=6$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $(x+1)(x+6)=6^2$ $(x+1)(x+6)=36$Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду: $x^2+6x+x+6=36$ $x^2+7x+6-36=0$ $x^2+7x-30=0$3. Нахождение корней квадратного уравнения Воспользуемся теоремой Виета или формулой дискриминанта. $D=b^2-4ac=7^2-4\cdot 1\cdot \left(-30\right)=49+120=169$ $\sqrt{D}=13$ Находим корни: $x_1=\frac{-7+13}{2}=\frac{6}{2}=3$ $x_2=\frac{-7-13}{2}=\frac{-20}{2}=-10$ 4. Проверка

1. Проверка по ОДЗ:
   • $x=3$: $3\ge -1$ (подходит). $x=-10$: $-10<-1$ (не подходит).
2. Подстановка в исходное уравнение для $x=3$:
   $\sqrt{3+1}\cdot \sqrt{3+6}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6$ Равенство верно.

Ответ: $x=3$. Могу составить для вас аналогичные задачи для закрепления темы или разобрать более сложные уравнения с иррациональностями.