Найти промежутки монотонности и точки экстремума y=x^2-6x+5

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции $y=x^2-6x+5$ воспользуемся методами дифференциального исчисления. 1. Нахождение производной функции Сначала найдем производную функции $y\left(x\right)$: $y^{\prime }=(x^2-6x+5{)}^{\prime }=2x-6$2. Определение критических точек Критические точки находятся там, где производная равна нулю: $2x-6=0$ $2x=6$ $x=3$Точка $x=3$ разделяет числовую прямую на два интервала: $(-\infty ;3)$ и $(3;+\infty )$. 3. Исследование знаков производной Определим знак производной на каждом из полученных интервалов, чтобы выяснить характер монотонности:

• Интервал $(-\infty ;3)$:
  Возьмем пробную точку $x=0$:
  $y^{\prime }\left(0\right)=2\left(0\right)-6=-6<0$.
  Так как $y^{\prime }<0$, функция убывает на этом промежутке. Интервал $(3;+\infty )$:
  Возьмем пробную точку $x=4$:
  $y^{\prime }\left(4\right)=2\left(4\right)-6=2>0$.
  Так как $y^{\prime }>0$, функция возрастает на этом промежутке.

4. Определение точек экстремума Так как в точке $x=3$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Найдем соответствующее значение функции в этой точке: $y\left(3\right)=3^2-6\left(3\right)+5=9-18+5=-4$Итоговые результаты

Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty ;3]$ и возрастает на промежутке $[3;+\infty )$. Точка экстремума — минимум в точке $(3;-4)$. Хотите, чтобы я провел аналогичный анализ для более сложной функции, например, дробно-рациональной или кубической?